
Der im bayerischen Erlangen geborene Täuber gab in der Saison 1978/79 in Diensten des 1. FC Nürnberg sein Bundesliga-Debüt. Über eine Zwischenstation bei den Stuttgarter Kickers landete er beim FC Schalke 04 und reifte dort zum Torjäger. 1987 schloss er sich Bayer 04 an. In seiner Debüt-Saison für Schwarz-Rot kam Täuber auf 23 Bundesligaspiele (6 Tore). Seinen größten Erfolg mit der Werkself feierte der Linksfuß in dieser Spielzeit im UEFA-Cup.
Nach der 0:3-Niederlage gegen Espanyol Barcelona im Final-Hinspiel empfing Bayer 04 die Spanier in Leverkusen. Täuber wurde nach 62 Minuten beim Stand von 1:0 für den rot-gefährdeten Tita eingewechselt und schlug nur eine Minute später die Flanke zum 2:0 von Falko Götz. Da der Werkself auch noch ein drittes Tor gelang, ging es in die Verlängerung und schließlich ins Elfmeterschießen. In diesem verwandelte Täuber den entscheidenden Strafstoß zum Gewinn des UEFA-Cups.
Auch die neue Saison trat er mit Bayer 04 an, im November 1988 musste Täuber seine Karriere allerdings verletzungsbedingt beenden. Im Anschluss an seine Profikarriere arbeitete er als Trainer, unter anderem für die Schalker Amateurmannschaft und Schwarz-Weiß Essen. Am Samstag verstarb Klaus Täuber im Alter von 65 Jahren.

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