Nascido e criado em Bocholtz, na Holanda, cidade localizada na fronteira com a Alemanha, Mark Flekken deu seus primeiros passos no futebol no Roda JC Kerkrade, antes de se transferir, aos 16 anos, para o Alemannia Aachen. Nas categorias de base do então clube da 2ª divisão alemã, ele continuou sua evolução esportiva e, em setembro de 2011, assinou seu primeiro contrato profissional. Durante a pausa de inverno da temporada 2012/13 da 3. Liga, Flekken assumiu a titularidade no gol da equipe principal. Após o fim daquela temporada, transferiu-se para o SpVgg Greuther Fürth. No entanto, teve poucas oportunidades nos três anos em que ficou no clube, somando apenas três aparições na 2. Bundesliga.
Na temporada 2016/17, Mark Flekken deu um passo importante em sua carreira ao assumir a titularidade do MSV Duisburg, então na 3ª divisão alemã. Foi lá que ele protagonizou um momento histórico: no dia 7 de agosto de 2016, marcou um gol de calcanhar nos acréscimos da partida contra o VfL Osnabrück, garantindo o empate por 1 a 1. Esse foi o primeiro gol de um goleiro com bola rolando na história do clube. Ao final da temporada, o MSV foi campeão e garantiu o acesso à 2. Bundesliga.
Após duas temporadas sólidas, com mais de 30 partidas em cada uma, Flekken se transferiu para o SC Freiburg na temporada 2018/19, estreando na Bundesliga na última rodada daquela temporada. Com a saída do goleiro Alexander Schwolow em 2020/21, Flekken virou titular do Freiburg. No entanto, uma lesão no cotovelo o afastou dos gramados durante quase toda a temporada.
Nos dois anos seguintes, a carreira do talentoso goleiro holandês evoluiu bastante, chamando também a atenção do técnico da seleção, Louis van Gaal. Em março de 2022, Flekken fez sua estreia pela Laranja Mecânica e, desde então, somou mais sete partidas entre a fase de qualificação para a Eurocopa, a UEFA Nations League e jogos amistosos. Ele também faz parte do elenco que disputou a Euro 2024.
Na temporada 2021/22, Flekken levou o Freiburg até a final da Copa da Alemanha, que terminou com derrota nos pênaltis por 4 a 2 para o RB Leipzig. Já em 2022/23, disputou a UEFA Europa League pelo clube alemão. Com mais de 30 jogos de Bundesliga em cada uma dessas temporadas e atuações de destaque, Flekken despertou o interesse do FC Brentford, da Inglaterra, após cinco anos na Floresta Negra.
No Brentford, o goleiro só perdeu uma partida de liga em cada uma das temporadas 2023/24 e 2024/25. Agora, aos 31 anos e com a experiência acumulada de 80 jogos na Bundesliga e 74 na Premier League, Flekken chega ao Bayer 04 Leverkusen.
